LAYANG-LAYANG (KITES) DAN TRAPEZOID

A. LAYANG-LAYANG (KITES)

Layang -layang adalah segiempat yang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berhimpit.

1. Sifat Layang-layang (Properties of Kites)
    a. Mempunyai dua pasang sisi sama panjang.
        AB = BC dan AD = CD
    b. Sepasang sudut yang berhadapan sama besar yakni sudut bagian sayap.
        Sudut BAD = Sudut BCD
    c. Mempunyai satu sumbu simetri yang merupakan diagonal terpanjang.
        Diagonal BD adalah sumbu simetri layang-layang.
    d. Diagonal bagian sayap membagi dua sama panjang dan tegak lurus terhadap diagonal lain.
        OA = OC = 1/2 AC  dan AC tegak lurus BD

2. Keliling dan Luas Layang-layang (Perimeter and Area of Kites)
    a. Keliling layang - layang = panjang keempat sisinya
                                           =   AB + BC + CD + AD

    b. Luas Layang-layang =     

                                                       

B. TRAPESIUM (TRAPEZOID)

Trapesium adalah segi empat yang mempunyai sepeasang sisi berhadapan sejajar.

                

1. Sifat - Sifat Trapesium (Properties of Trapezoid)
   a. Mempunyai sisi yang sejajar
       AB // DC tetapi AB tidak sama panjang dengan DC
   b. Mempunyai dua sudut lancip dan dua sudut tumpul
       Sudut Lancip = Sudut BAD dan Sudut ABC
       Sudut Tumpul = Sudut ADC dan Sudut BCD
   c. Jumlah sudut yang berdekatan di antara dua sisi sejajar ialah 180 derajat.
       Sudut A + Sudut D = 180
       Sudut B + Sudut C = 180

Berlaku khusus untuk trapesium sama kaki:
a. Mempunyai dua pasang sudut yang berdekatan sama besar.
b. Mempunyai dua diagonal yang sama panjang.

2. Keliling dan Luas Trapesium (Perimeter and Area of Trapezoid)
a. Keliling  Trapesium  = AB + BC + CD + AD

b. Luas Trapesium  

                                                          

SOAL-SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Nyatakan masing-masing kalimat berikut ini BENAR atau SALAH untuk setiap layang-layang.
    a. Diagonal-diagonalnya sama panjang.
    b. Diagonal-diagonalnya saling berpotongan tegak lurus.
    c. Mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang.
    d. Dua sudutnya yang berhadapan sama besar.

JAWAB:
    a. SALAH, diagonal -diagonal pada layang-layang TIDAK sama panjang.
    b.BENAR, diagonal-diagonal pada layang-layang berpotongan tegak lurus di O.
    c. BENAR, karena layang-layang dibentuk dari dua segitiga sama kaki.
    d. BENAR, sudut-sudut pada bagian sayap layang-layang sama besar.

2. Pada layang-layang ABCD berikut, besar sudut DAC  = 30 derajat dan Sudut CDB = 40 derajat.
    Tentukan:
    a. besar Sudut ADB;dan
    b. besar Sudut ABC.

JAWAB:
a. Sudut ADB = 180 - (Sudut AOD + Sudut DAC)
                      = 180 -  (90 + 30)
                      = 180 - 120
                      = 60
b. Sudut ABC = Sudut ADC
                       = Sudut ADB + Sudut CDB
                       = 60 + 40
                       = 100

3. Hitunglah luas layang-layang berikut.

JAWAB:
Diagonal 1 = 5 + 9 = 14 cm
Diagonal 2 = 4 + 4 = 8 cm
Luas Layang-layang  
                                
                                =  56 cm2

4. Luas suatu layang - layang adalah 60 cm2. Jika panjang salah satu diagonalnya 8 cm,
    hitunglah panjang diagonal yang lainnya.

JAWAB:
Luas layang-layang


120 = 8 x d1
d1   = 120 : 8
d1   = 15

Jadi, diagonal yang lain adalah 15 cm.

5. Diketahui luas persegi panjang ABCD pada gambar berikut 432 cm2.
    Luas daerah layang-layang adalah  . . .

JAWAB:

Luas persegi panjang = 3x . 2x

                        432   =
Luas layang - layang =                
                                     
                                  
                               
                               = 216 cm2

6. Pada trapesium sama kaki ABCD, panjang AD = BC, dan besar Sudut A = 65 derajat.
    a. Tentukan besar Sudut B!
    b. Tentukan besar Sudut C dan Sudut D!

JAWAB:

a. Sudut A = 65 derajat maka sudut B juga 65 derajat.
b. Sudut C berdekatan dengan sudut B maka sudut C = 180 - 65 = 115 derajat.
    Karena Sudut A = 65 derajat maka Sudut D pun 115 derajat.

7. Hitunglah luas trapesium berikut ini.

JAWAB:
(i) Luas Trapesium   
                                        
                               = 25 x 6
                              = 150 cm2

(ii) Luas Trapesium         
                           
                                       
                                = 22 x 15
                                = 330 cm2

8. ABCD adalah trapesium siku- siku di A dengan AB//CD.
    Jika besar sudut B : sudut C = 4 : 5,
    tentukan besar sudut-sudut trapesium itu!

JAWAB:
Sudut B dan Sudut C adalah sudut yang saling berdekatan dimana jumlah sudutnya = 180
Jumlah perbandingan adalah 4 + 5 = 9

 
        = 4 x 20  
        = 80

    
        = 5 x 20
        = 100

Jadi, Sudut A = 90, Sudut B = 80, Sudut C = 100 dan Sudut D = 90

9. Perbandingan panjang sisi- sisi sejajar sebuah trapesium adalah 4 : 3.
    Jika tinggi trapesium itu 8 cm, dan luasnya 84 cm2, hitunglah panjang sisi - sisi sejajar tersebut.

JAWAB:
Luas trapesium       
                            

                            
                     
                 a  + b = 21

Jumlah perbandingan sisi-sisi sejajar = 4 + 3 = 7

               
                a  = 4 x 3
                a = 12
           

b = 3 x 3
b = 9

Jadi sisi-sisi yang sejajar pada trapesium itu adalah 12 cm dan 9 cm.

10. Pak Ali membeli sebidang tanah dengan bentuk dan ukuran seperti pada gambar berikut.

Jika harga tanah Rp45.000,00/m2, maka Pak Ali  harus membayar sebesar . . . 

JAWAB:

Untuk menentukan tinggi kita gunakan TEOREMA PYTHAGORAS pada segitiga siku-siku.

Perhatikan gambar.

t  = 10

Luas tanah yang berbentuk trapesium     

                                                            

                                                            = 22 x 10

                                                            = 220 m2

Pak Ali harus membayar  = 220 x Rp45.000,-

                                       =Rp9.900.000,-

JAJARGENJANG (PARALLEOGRAM) DAN BELAH KETUPAT (RHOMBUS)

A.JAJARGENJANG (PARALLELOGRAM)

 Jajargenjang adalah segiempat yang memiliki dua sudut lancip dan dua sudut tumpul serta sisi- sisi yang berhadapan sejajar dan seimbang.

1.Sifat-sifat Jajargenjang (Properties of Parallelogram)
a. Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang
     AB = CD dan AB// CD
     AD = BC dan AD//BC
b. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar
    Sudut BAD = Sudut BCD
    Sudut ABC = Sudut ADC
c. Mempunyai 2 diagonal yang berpotongan di satu titik dan saling membagi dua sama panjang.
   OA = OC
   OB = OD
d. Mempunyai 2 simetri putar tetapi tidak memiliki simetri lipat.

2. Keliling dan Luas Jajargenjang (Perimeter and Area of Parallelogram)
    Keliling jajargenjang = AB + CD + AD + BC
    Luas jajargenjang     = alas x tinggi
                                    = a x t

B. BELAH KETUPAT (RHOMBUS)

Belah ketupat adalah segiempat yang dibentuk oleh segitiga sama kaki dan bayangannya, dengan alas sebagai sumbu cermin. Belah ketupat juga bisa dianggap sebagai jajargenjang yang semua sisinya sama panjang.

1. Sifat-sifat Belah Ketupat (Properties of Rhombus)
    a. Semuanya sisinya sama panjang
        AB = BC = CD = AD
    b. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
        Sudut BAD = Sudut BCD
        Sudut ADC = Sudut ADC
    c. Kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang dan saling tegak lurus.
        AC tegak lurus BD
        AO = OC = 1/2  AC
        BO = OD = 1/2  BD
    d. Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetris.
       AC = d1 dan BD = d2 adalah sumbu simetris.

2. Keliling dan Luas Belah Ketupat
    Keliling Belah Ketupat = AB + BC + CD + AD
    Luas Belah Ketupat = 1/2 x AC x BD
                                   = 1/2 x d1  x d2

     
SOAL-SOAL DAN PEMBAHASAN

1. KLMN adalah jajargenjang yang diagonal-diagonalnya berpotongan di T.
    a. Sebutkan dua pasang sisi yang sejajar;
    b. Sebutkan empat pasang garis yang sama panjang;
    c. Sebutkan dua pasang sudut yang sama besar.

JAWAB:

a. Dua pasang sisi sejajar: KL// MN dan NK// LM
b. Empat pasang garis yang sama panjang: KL = MN, NK = LM, TM = TK, NT = TL
c. Dua pasang sudut yang sama besar : Sudut LKN = Sudut LMN dan Sudut KNM = Sudut KLM

2. Besar Sudut QRS pada gambar berikut adalah. . .

JAWAB:
Sudut SPQ berhadapan dengan sudut QRS  sehingga Sudut SPQ = Sudut QRS
20x - 56 = 6x
20x - 6x = 56
      14 x =  56
           x = 56 : 14
           x = 4
Besar sudut QRS = 6 (4) = 24

3. Perbandingan sudut-sudut yang berdekatan pada suatu jajargenjang adalah 2: 3. Tentukan besar sudut-sudut jajargenjang tersebut.

JAWAB:
Sudut-sudut yang berdekatan pada jajargenjang jumlahnya 180 derajat.
Jumlah perbandingan 2 +3 = 5

Sudut 1 = 2/ 5 x 180 = 72
Sudut 2 = 3 / 5 x 180 = 108

4. Hitunglah luas masing - masing jajargenjang berikut.

JAWAB:
(i) alas = 14 cm dan tinggi 23 cm
    Luas jajargenjang (i) = a x t
                                    = 14 x 23
                                    = 322 cm2

(ii) alas = 25 cm dan tinggi 24 cm
     Luas jajargenjang (ii) =  a x t
                                     = 25 x 24
                                     = 600 cm2

5. Panjang alas suatu jajargenjang = 4y cm dan tingginya = 3y cm. Jika luas jajargenjang itu 192 cm2,
    Tentukan panjang alas dan tinggi jajargenjang itu!

JAWAB:
Luas =  a x t
192  =  4y x 3y
192 = 12 



y = 4

Panjang alas  = 4 (4) = 16 cm
Tinggi           = 3 (4)  = 12 cm

6. Tinggi suatu jajargenjang 2 kali panjang alasnya. Jika luas jajargenjang itu 162 cm2, tentukan panjang alas dan tinggi jajargenjang tersebut.

JAWAB:
t = 2a

Luas = a x t
 162 = a x 2a
 162 =

 

a = 9

Jadi, alasnya 9 cm dan tingginya 2 (9) = 18 cm

7. Nyatakanlah pernyataan berikut ini BENAR atau SALAH untuk tiap-tiap belah ketupat.
a. Semua sisinya sama panjang.
b. Kedua diagonalnya sama panjang.
c. Kedua diagonal berpotongan tegak lurus.
d. Kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang.

JAWAB:
a. B
b. S
c. B
d. B

8. Pada belah ketupat EFGH diketahui panjang sisi EF = (5x - 3) cm dan panjang sisi GH = (2x + 3) cm. Tentukan panjang sisi - sisi belah ketupat itu.

JAWAB:

Sisi EF = sisi GH
 5x - 3 = 2x + 3
5x - 2x = 3  + 3
       3x = 6
         x = 6 : 3
         x = 2
Panjang sisi belah ketupat adalah 5 (2)-3 = 10 - 3 = 7 cm

9. Pada belah ketupat ABCD, panjang diagonal AC : BD = 4 : 3. Jika luas belah ketupat itu 150 cm2,
    tentukan:
   a. panjang diagonal AC dan BD;
   b. Luas belah ketupat ABCD.

JAWAB:
AC : BD = (4 x n) : (3 x n) = 4n : 3n

Luas belah ketupat =










n = 5

a. Diagonal AC = 4n = 4 x 5 = 20 cm dan diagonal BD = 3n = 3 x 5 =15 cm
b. Luas Belah ketupat ABCD =
                                              = 150 cm2

10. Luas sebuah belah ketupat 80 cm2 dan panjang salah satu diagonalnya adalah 10 cm. Panjang diagonal yang lainnya adalah . . .

JAWAB:




160 = 10 x d2
  d2 = 160 : 10
  d2 = 16

Jadi, diagonal yang lainnya adalah 16  cm.